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Titre :
Intervalles
Légende - Résumé :
L'analyse par intervalles est une méthode d’analyse numérique sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRIN. Le film fait une démonstration de cette méthode sur un cas simple : trouver les solutions d'un système d'équations à deux inconnues dans un domaine borné, choisi pour sa pertinence vis-à-vis du problème physique posé.
Proposée dans les années 1960, cette méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications (biomédical, télécommunications, robotique, systèmes à retour d'effort,...) car elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondi inhérent à l'ordinateur ou encore de gérer les incertitudes des paramètres physiques dans la conception et l'analyse de systèmes sophistiqués.
La mise en scène graphique de la recherche de solution permet de saisir rapidement le principe de la méthode de bissection utilisée et de comprendre son efficacité.
Nom de fichier :
Inria-554-Intervalles-fr.mp4
Titre :
Intervalles
Année :
2006
Durée (min) :
00:05:40
Publications :
https://videotheque.inria.fr/videotheque/doc/554
Autres versions :
Master VF : 554
Master VEN : 555
Autre : Lien externe :
Lien Equipe-projet :
Lien Centre de Recherche :
Mots clés :
N° master :
554
Durée :
05 min 40 sec
IsyTag :
- - a1 - a2 - algorithme - analyse - B1 - boîte - boîte· - calcul - égale - f1 - f2 - intervalle - L' - solution - système
Transcription automatiqu :
analyse par intervalle est-il méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables effet sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels l'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe coprah peut s'exprimer très simplement sur un exemple la situation ne recherchant les solutions d'un système de deux équations à deux inconnus et y dans un domaine borné inconnu x et y représente une grandeur physique peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un repos cette vue la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de x y et voici la du greffe de fd nous avons ici un plan à la hauteur zéro courbes en bleu indiquent les wef deux égales zéro les courbes en rouge les points où f1 gagnent zéro point d'intersection des courbes bleues et rouges censées pour lesquelles f1 et fdny ont une valeur miel ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· effet sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels l'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe coprah peut s'exprimer très simplement sur un exemple la situation ne recherchant les solutions d'un système de deux équations à deux inconnus et y dans un domaine borné inconnu x et y représente une grandeur physique peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un repos cette vue la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de x y et voici la du greffe de fd nous avons ici un plan à la hauteur zéro courbes en bleu indiquent les wef deux égales zéro les courbes en rouge les points où f1 gagnent zéro point d'intersection des courbes bleues et rouges censées pour lesquelles f1 et fdny ont une valeur miel ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels l'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe coprah peut s'exprimer très simplement sur un exemple la situation ne recherchant les solutions d'un système de deux équations à deux inconnus et y dans un domaine borné inconnu x et y représente une grandeur physique peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un repos cette vue la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de x y et voici la du greffe de fd nous avons ici un plan à la hauteur zéro courbes en bleu indiquent les wef deux égales zéro les courbes en rouge les points où f1 gagnent zéro point d'intersection des courbes bleues et rouges censées pour lesquelles f1 et fdny ont une valeur miel ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels l'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe coprah peut s'exprimer très simplement sur un exemple la situation ne recherchant les solutions d'un système de deux équations à deux inconnus et y dans un domaine borné inconnu x et y représente une grandeur physique peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un repos cette vue la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de x y et voici la du greffe de fd nous avons ici un plan à la hauteur zéro courbes en bleu indiquent les wef deux égales zéro les courbes en rouge les points où f1 gagnent zéro point d'intersection des courbes bleues et rouges censées pour lesquelles f1 et fdny ont une valeur miel ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· la situation ne recherchant les solutions d'un système de deux équations à deux inconnus et y dans un domaine borné inconnu x et y représente une grandeur physique peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un repos cette vue la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de x y et voici la du greffe de fd nous avons ici un plan à la hauteur zéro courbes en bleu indiquent les wef deux égales zéro les courbes en rouge les points où f1 gagnent zéro point d'intersection des courbes bleues et rouges censées pour lesquelles f1 et fdny ont une valeur miel ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné inconnu x et y représente une grandeur physique peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un repos cette vue la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de x y et voici la du greffe de fd nous avons ici un plan à la hauteur zéro courbes en bleu indiquent les wef deux égales zéro les courbes en rouge les points où f1 gagnent zéro point d'intersection des courbes bleues et rouges censées pour lesquelles f1 et fdny ont une valeur miel ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· cette vue la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de x y et voici la du greffe de fd nous avons ici un plan à la hauteur zéro courbes en bleu indiquent les wef deux égales zéro les courbes en rouge les points où f1 gagnent zéro point d'intersection des courbes bleues et rouges censées pour lesquelles f1 et fdny ont une valeur miel ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons ici un plan à la hauteur zéro courbes en bleu indiquent les wef deux égales zéro les courbes en rouge les points où f1 gagnent zéro point d'intersection des courbes bleues et rouges censées pour lesquelles f1 et fdny ont une valeur miel ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro courbes en bleu indiquent les wef deux égales zéro les courbes en rouge les points où f1 gagnent zéro point d'intersection des courbes bleues et rouges censées pour lesquelles f1 et fdny ont une valeur miel ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro les courbes en rouge les points où f1 gagnent zéro point d'intersection des courbes bleues et rouges censées pour lesquelles f1 et fdny ont une valeur miel ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro point d'intersection des courbes bleues et rouges censées pour lesquelles f1 et fdny ont une valeur miel ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle moins dix dix a partir de maintenant nous ne travaillons plus avec des nombre mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles à l'analyse intervalle les domaine de recherche des solutions peut se représenter par carrés quelle en appellerait une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte une boîte donnée les calculs par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f de nombre à un et à deux qui sont tels que la valeur maximum de f pas grande que la valeur minimum pas plus petite hein c'est si que soit le point choisi dans la boîte analyse par intervalles permet de garantir que hein et ader satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· les calculs pour f1 et pour la boîte moins un un par mois trois deux nous obtenons les plans qui encadrent haifa sont situés à moins huit et moins un en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas moins un et que la f1 n'était donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette voie algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· algorithme utilise la méthode de la mi section principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection principe consiste à couper la boîte initiale en deux puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ces découpages en cinq étapes nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalle permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique elle a été introduite dans les années 1960 afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles les calculs par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· boîtes initiales b zéro est évalué sur les deux fonctions les valeurs de plan un et deux des signes opposés nous ne pouvons pas l'éliminer est alors coupé en deux se boit bien mbd boîte de bd va dans la pile elle serait traitée plus algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard algorithme examine la boîte b1 également un neuf à prime deux égales quatre-vingt treize pour la fonction fd un égal moins vingt cinq et à deux égales quinze pour la fonction f1 cette boîte peut éventuellement contenir une solution est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est nouveau coupé en deux boîtes de pétrole et de quatre reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 reste dans la pile elle serait traitée plus tard pour le moment l'algorithme examine la boîte b trois plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· plan qui inclut à dresde indique qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs depuis un y a deux sont toutes deux positives troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· Les plan qui encadrent f2 indiquent qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs de plans A1 et A2 sont toutes deux positives· troyes sera éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· Les plan qui encadrent f2 indiquent qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs de plans A1 et A2 sont toutes deux positives· B3 sera donc éliminé le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· Les plan qui encadrent f2 indiquent qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs de plans A1 et A2 sont toutes deux positives· B3 sera donc éliminé
La bisection est une procédure qui nous permet d'obtenir des boîtes de plus en plus petites· le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· Les plan qui encadrent f2 indiquent qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs de plans A1 et A2 sont toutes deux positives· B3 sera donc éliminé· La bissection est une procédure qui nous permet d'obtenir des boîtes de plus en plus petites· le bois qui suffisait de rencontre nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· Les plan qui encadrent f2 indiquent qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs de plans A1 et A2 sont toutes deux positives· B3 sera donc éliminé· La bissection est une procédure qui nous permet d'obtenir des boîtes de plus en plus petites· lorsqu'un boîte est suffisamment petite nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution boîtes par exemple les plans qui encadrent les deux fonctions ont une auteur très de zéro estimeront alors que cette boîte y il a une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· Les plan qui encadrent f2 indiquent qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs de plans A1 et A2 sont toutes deux positives· B3 sera donc éliminé· La bissection est une procédure qui nous permet d'obtenir des boîtes de plus en plus petites· lorsqu'un boîte est suffisamment petite nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution pour cette boîte par exemple‚ les plans qui encadrent les deux fonctions ont une hauteur très proche de zéro· Nous estimerons alors que cette boîte contient une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer· Et encore plus important si on ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· Les plan qui encadrent f2 indiquent qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs de plans A1 et A2 sont toutes deux positives· B3 sera donc éliminé· La bissection est une procédure qui nous permet d'obtenir des boîtes de plus en plus petites· lorsqu'un boîte est suffisamment petite nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution pour cette boîte par exemple‚ les plans qui encadrent les deux fonctions ont une hauteur très proche de zéro· Nous estimerons alors que cette boîte contient une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer· Et encore plus important aucune solution ne peut nous échapper l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· Les plan qui encadrent f2 indiquent qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs de plans A1 et A2 sont toutes deux positives· B3 sera donc éliminé· La bissection est une procédure qui nous permet d'obtenir des boîtes de plus en plus petites· lorsqu'un boîte est suffisamment petite nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution pour cette boîte par exemple‚ les plans qui encadrent les deux fonctions ont une hauteur très proche de zéro· Nous estimerons alors que cette boîte contient une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer· Et encore plus important aucune solution ne peut nous échapper Mais l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'équations méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· Les plan qui encadrent f2 indiquent qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs de plans A1 et A2 sont toutes deux positives· B3 sera donc éliminé· La bissection est une procédure qui nous permet d'obtenir des boîtes de plus en plus petites· lorsqu'un boîte est suffisamment petite nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution pour cette boîte par exemple‚ les plans qui encadrent les deux fonctions ont une hauteur très proche de zéro· Nous estimerons alors que cette boîte contient une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer· Et encore plus important aucune solution ne peut nous échapper Mais l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'équations Cette méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications - en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur gérer les des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· Les plan qui encadrent f2 indiquent qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs de plans A1 et A2 sont toutes deux positives· B3 sera donc éliminé· La bissection est une procédure qui nous permet d'obtenir des boîtes de plus en plus petites· lorsqu'un boîte est suffisamment petite nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution pour cette boîte par exemple‚ les plans qui encadrent les deux fonctions ont une hauteur très proche de zéro· Nous estimerons alors que cette boîte contient une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer· Et encore plus important aucune solution ne peut nous échapper Mais l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'équations Cette méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications - en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur de gérer les incertitudes des paramètres physiques dans la conception et l'analyse des pramètres systèmes sophistiqués
L'analyse par intervalle est une méthode d'analyse numérique· Elle a été introduite dans les années soixante afin de mener des calculs qui garantissent des résultats précis et fiables· En effet‚ nombreuses sont les applications qui posent des problèmes très difficiles à résoudre de façon garantie avec les outils numériques traditionnels· L'idée de base de l'analyse par intervalles sur laquelle reposent les travaux de recherche de l'équipe COPRAH peut s'exprimer très simplement sur un exemple· Prenons la situation où nous recherchons les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues x et y dans un domaine borné Les inconnues x et y représentent une grandeur physique‚ elles peuvent correspondre par exemple à la position dans un plan de la main d'un robot· Sur cette vue‚ la hauteur d'un point représente la valeur de la fonction f1 pour différentes valeurs de (x‚y) et voici la représentation du graphe de f2 nous avons tracé ici un plan à la hauteur zéro‚ les courbes en bleu indiquent les points où f2 égale zéro et les courbes en rouge les points où f1 égale zéro Les points d'intersection des courbes bleues et rouges sont ceux pour lesquelles f1 et f2 ont une valeur nulle‚ ce sont les solutions du système Ici‚ la signification physique des inconnues du système nous impose de chercher les solutions en x y ayant une valeur dans l'intervalle -10‚10· À partir de maintenant‚ nous ne travaillons plus avec des nombres mais avec des intervalles C'est là l'analyse par intervalle‚ le domaine de recherche des solutions peut se représenter par ce carré que l'on appellera une boîte Pour une boîte donnée‚ le calcul par intervalle permet d'obtenir pour chaque fonction f deux nombres a1 et a2 qui sont tels que la valeur maximum de f n'est pas plus grande que a2 et la valeur minimum pas plus petite que a1 ceci quel que soit le point choisi dans la boîte· L'analyse par intervalles permet de garantir que a1 et a2 satisfont cette propriété même si pour les calculer nous utilisons un ordinateur qui ne fait les calculs qu'approximativement· Faisons le calcul pour f1 et pour la boîte -1‚1 par -3‚2 - nous obtenons que les plans qui encadrent f1 sont situés à -8 et -1‚ en pratique cela veut dire que la plus grande valeur de f1 pour cette boîte ne dépasse pas -1 et que f1 ne peut donc pas s'annuler pour cette boîte· L'algorithme utilise la méthode de la bisection Le principe consiste à couper la boîte initiale en deux‚ puis faire successivement de même pour chacune des boîtes issues de ce découpage· À chaque étape‚ nous éliminerons les boîtes pour lesquelles le calcul par intervalles permet d'affirmer qu'elles ne contiennent aucune solution· La boîte initiale B0 est évaluée sur les deux fonctions· Les valeurs de plan A1 et A2 étant de signes opposés‚ nous ne pouvons pas l'éliminer - elle est alors coupée en deux sous boîtes B1 et B2· La boîte B2 va dans la pile elle sera traité plus tard L'algorithme examine la boîte B1 A'1 égale -9 et A'2 égale 93 pour la fonction f2 · A1 égale -25 et A2 égale 15 pour la fonction f1· Cette boîte peut éventuellement contenir une solution‚ elle est à nouveau coupé en deux boîtes B3 et B4 B4 reste dans la pile elle sera traitée plus tard· Pour le moment l'algorithme examine la boîte B3· Les plan qui encadrent f2 indiquent qu'elle ne contient pas la solution puisque les valeurs de plans A1 et A2 sont toutes deux positives· B3 sera donc éliminé· La bissection est une procédure qui nous permet d'obtenir des boîtes de plus en plus petites· lorsqu'un boîte est suffisamment petite nous estimerons que nous avons trouvé l'approximation d'une solution pour cette boîte par exemple‚ les plans qui encadrent les deux fonctions ont une hauteur très proche de zéro· Nous estimerons alors que cette boîte contient une solution et des techniques mathématiques plus avancées nous permettront de le confirmer· Et encore plus important aucune solution ne peut nous échapper Mais l'analyse par intervalles va bien au-delà de la résolution de système d'équations Cette méthode peut être utilisée pour un très grand nombre d'applications - en effet elle permet de garantir des résultats malgré les erreurs d'arrondis inhérents à l'ordinateur de gérer les incertitudes des paramètres physiques dans la conception et l'analyse de systèmes sophistiqués
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